Алексей Саяпин родился в 1985 году в Саратове. В 2003 году он поступил в Саратовскую государственную консерваторию, где начал обучение вокалу. В 2008 году он окончил обучение с отличием и начал свою карьеру, исполняя ведущие теноровые партии на российских сценах, в том числе Эдгардо в опере «Лючия ди Ламмермур» в Саратовском театре оперы и балета и Альфреда в «Травиате» в Михайловском театре Санкт-Петербурга.

В 2007 году он стал лауреатом конкурса имени Елены Образцовой в Санкт-Петербурге, в 2008 — конкурса имени Галины Вишневской в Москве, а также завоевал первую премию на Международном конкурсе теноров имени Лучано Паваротти в Москве. В том же году Пласидо Доминго пригласил молодого тенора принять участие в конкурсе Operalia, где он также получил награду.

В сезоне 2010/11 Алексей был принят в Young Artist’s Program Лос-Анджелесской оперы, где дебютировал в партии Тибальта («Ромео и Джульетта» Шарля Гуно). В 2011 году он выступил на фестивале в Аспене в роли Лизандра в «Сне в летнюю ночь» Бриттена. В сезоне 2012/13 он исполнил партию Пинкертона в опере «Мадам Баттерфляй» в Опере Санта-Барбары, а также дебютировал в Германии с «Реквиемом» Верди в рамках концертов, посвящённых памяти жертв Холокоста.

С 2013 по 2016 год Алексей Саяпин был солистом Aalto-Musiktheater в Эссене. Среди его заметных партий на этой сцене — Артуро в опере «Незнакомка» рядом с Марлис Петерсен, Штёва («Енуфа»), Макдуф («Макбет»), Принц («Любовь к трём апельсинам») и Альфредо («Травиата»).

В сезоне 2018/19 он выступал в Театре Ахена, исполняя партии Ромео («Ромео и Джульетта»), Измайлова («Леди Макбет Мценского уезда») и вновь Альфреда.

В последующие годы он исполнял в Ахене роли Роберто («Мария Стюарт»), Макдуфа («Макбет»), а также Луиджи и Ринуччо в «Триптихе» Пуччини. В 2017 году он выступил с Люцернским симфоническим оркестром в концертных версиях опер «Пиковая дама» и «Свадьба» Стравинского.

В сезоне 2020/21 Алексей Саяпин дебютировал в партии Андрея в опере Чайковского «Мазепа» на сцене Государственного театра Котбуса. С сезона 2021/22 он является солистом этого театра.